Question

设二次函数f(x)=x^2+px+q，求证：|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|中至少有一个不小于1/2.

过程具体些，求大神指教

Answer 1

证：
用反证法。
假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|均小于1/2。
|1+p+q|<1/2
-1/2<p+q+1<1/2
-3/2<p+q<-1/2 (1)
|4+2p+q|<1/2
-1/2<2p+q+4<1/2
-9/2<2p+q<-7/2 (2)
|9+3p+q|<1/2
-1/2<3p+q+9<1/2
-19/2<3p+q<-17/2 (3)

(1)+(3)
-11<(p+q)+(3p+q)<-9
-11<4p+2q<-9
-11/2<2p+q<-9/2
与(2) -9/2<2p+q<-7/2矛盾。因此假设错误。

|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

Answer 2

f（1）=1+p+q
f（2）=4+2p+q
f（3）=9+3p+q
设a=|f(1)|=|1+p+q|，b=|4+2p+q|,c=|9+3p+q|
由|a|+|b|>=|a-b|得a+b>=|p+3|
同理可得 b+c>=|5+p|
所以两个相加得 a+2b+c>=| 5+p-(3+p)|=2
2/4=1/2
至少一个大于1/2
就是不等式用法

Answer 3

假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|均小于1/2。
|1+p+q|<1/2
-1/2<p+q+1<1/2
-3/2<p+q<-1/2 (1)
|4+2p+q|<1/2
-1/2<2p+q+4<1/2
-9/2<2p+q<-7/2 (2)
|9+3p+q|<1/2
-1/2<3p+q+9<1/2
-19/2<3p+q<-17/2 (3)

(1)+(3)
-11<(p+q)+(3p+q)<-9
-11<4p+2q<-9
-11/2<2p+q<-9/2
与(2) -9/2<2p+q<-7/2矛盾。因此假设错误。