设A1,A2,……An∈R^n,证明：向量组A1，A2，……An线性无关当且仅当任一n维向量均可由A1，A2，…An线性表示
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由A1，A2，……An线性无关
而对任一n维向量B, A1，A2，……An,B 线性相关
所以 B 可由 A1，A2，……An 线性表示.
反之, 因为 任一n维向量均可由A1，A2，…An线性表示
所以 n维基本向量组 ε1,...,εn 可由 A1，A2，…An 线性表示
所以两个向量组等价
所以它们的秩相同等于n
所以 A1，A2，…An 线性无关
而对任一n维向量B, A1，A2，……An,B 线性相关
所以 B 可由 A1，A2，……An 线性表示.
反之, 因为 任一n维向量均可由A1，A2，…An线性表示
所以 n维基本向量组 ε1,...,εn 可由 A1，A2，…An 线性表示
所以两个向量组等价
所以它们的秩相同等于n
所以 A1，A2，…An 线性无关
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