Question

设α为n维列向量,E为n阶单位矩阵,证明A=E-2αα^T/(α^Tα)是正交矩阵

Answer 1

证明: 因为 A=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 A^T=E^T-2(αα^T)^T/(α^Tα)=E-2αα^T/(α^Tα)
所以 AA^T = [E-2αα^T/(α^Tα)][E-2αα^T/(α^Tα)]
= E-2αα^T/(α^Tα)-2αα^T/(α^Tα)+4αα^Tαα^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4α(α^Tα)α^T/(α^Tα)^2
= E-4αα^T/(α^Tα)+4αα^T/(α^Tα)
= E
所以A是正交矩阵.

追问

2(αα^T)^T/(α^Tα)=2(αα^T)/(α^Tα)？

追答

2(αα^T)/(α^Tα)
这个式子中 2/(α^Tα) 是一个数
αα^T 是n阶矩阵
(αα^T) = (α^T)^Tα^T = αα^T

--(AB)^T=B^TA^T

追问

懂啦，谢谢老师

追答

OK
回答追问的时候我忘打了一个转置符号, 因为被推荐后不能修改,我还着急发了个评论
写在这里吧 免得让别人误会
(αα^T)^T = (α^T)^Tα^T = αα^T

Answer 2

AAT=E,因为AT=E-2aaT,aaT=1,所以AAT=E-4aaT+4aaT=E