Question

已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点

．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于H点．在底边BC保持不变的情况下，当高AD变长或变短时，△ABC和△HBC的面积的积S△ABC·S△HBC的值是否随着变化?请说明你的理由．

Answer 1

不变，S△ABC·S△HBC＝CD的四次方。
这道题实际就是巧妙利用三角形的相似来解的。S△ABC·S△HBC＝1/2BC*AD*1/2BC*DH，由此也就是看AD*DH等于什么，如果AD*DH的值是固定的，那么两个三角形的乘积就是固定的，因此下面的问题就是证明这一点。
1、由△BDH相似于△BEC得出：DH/CE=BD/BE，所以有DH*BE=CE*BD
2、由△AEH相似于△ADC得出：AE/AD=HE/CD，所以有AD*HE=AE*CD
3、上述1、2两个等式左右两边分别相乘，则有：AD*DH*BE*HE=AE*CE*BD*CD
4、将上面3的等式两边分别除以BE*HE，则有：AD*DH=(AE/HE)(CE/BE)*BD*CD
5、由于△AEH相似于△ADC，△ADC相似于△BEC，所以△AEH相似于△BEC，所以AE/HE=BE/CE。
6、将5的结论代入4的右边，则有AD*DH=(BE/CE)(CE/BE)*BD*CD=BD*CD。
下面的事情你就知道了吧。