Question

已知椭圆x^2/9+y^2=1设直线l与椭圆M交于A,B两点 且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C

已知椭圆x^2/9+y^2=1设直线l与椭圆M交于A,B两点 且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求三角形ABC面积的最大值?

Answer 1

方法一：不妨设BC的方程为y=n（x-3）（n＞0），则AC的方程为y=-
1n(x-3)．
由y=n(x-3)x29+y2=1得(
19+n2)x2-6n2x+9n2-1=0．…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为3x2=
81n2-99n2+1，所以x2=
27n2-39n2+1，…（7分）
同理可得x1=
27-3n29+n2，…（8分）
所以|BC|=
1+n2•
69n2+1•|AC|=
1+n2n•
6n29+n2，…（9分）
S△ABC=
12|BC||AC|=
2(n+
1n)(n+
1n)2+
649．…（10分）
设t=n+
1n≥2，则S=
2tt2+
649=
2t +
649t≤
38，…（12分）
当且仅当t=
83时取等号，所以△ABC面积的最大值为38． …（13分）
方法二：不妨设AB的方程为x=ky+m．
由x=ky+mx29+y2=1消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有y1+y2=-
2kmk2+9•y1y2=
m2-9k2+9．①…（7分）
因为以AB为直径的圆过点C，所以CA•
CB=0
由CA=(x1-3，y1)，
CB=(x2-3，y2)，得（x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（8分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0．
将①代入上式，解得m=
125或m=3（舍）．…（10分）
所以m=
125（此时直线AB经过定点D（125，0），与椭圆有两个交点）．
所以S△ABC=
12|DC||y1-y2|=
12×
35(y1+y2)2-4y1y2=9525(k2+9)-14425(k2+9)2．…（12分）
设t=
1k2+9，0＜t≤
19，则S△ABC=95-14425•t2+t．
所以当t=
25288∈(0，
19]时，S△ABC取得最大值3/8．…（13分） 转的时候有乱码，地址是http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/f97f6912-54cb-4cdd-b84a-f9adfa0fbe99

Answer 2

考试刚考完这道题，忘记过程了。

追问

真的吗？我现在上大学这高中知识早忘了，你帮帮忙吧，好好想想，这个题对我很重要，做不出来会出人命的。。。。

Answer 3

不确定，不过 最大值应该是3吧