Question

如图,AB是圆O的直径,DF⊥AB于点D,交弦AC于点E,FE=FC.(1)求证:FC是圆O的切线

Answer 1

（1）证明：连接OC．
∵FC=FE（已知），
∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；
又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，
∴FC是⊙O的切线；

Answer 2

（1）证明：连接OC．
∵FC=FE（已知），
∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；
又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）解：连接BC．
∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，
∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AB=2OA=10，
∴∠A+∠ABC=90°．
∵DF⊥AB，
∴∠A+∠AED=90°，
∴∠A+∠ABC=∠A+∠AED，即∠ABC=∠AED；
由（1）知，∠AED=∠FEC=∠ECF，
∴BC=AB•cos∠ABC=AB•cos∠ECF=10×
2
5
=4，
∴AC=
AB2-BC2
=
102-42
=2
21 ．

Answer 3

（1）证明：连接OC．
∵FC=FE（已知），
∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）；
又∵∠AED=∠FEC（对顶角相等），
∴∠FCE=∠AED（等量代换）；
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）；
∴∠FCE+∠OCA=∠AED+∠OAC；
∵DF⊥AB，
∴∠ADE=90°，
∴∠FCE+∠OCA=90°，即FC⊥OC，
∴FC是⊙O的切线；