Question

X1=2，Xn+1=根号1+xn证明limXn极值存在并求其值n趋于无穷

写错了应该是x1=根号2，Xn+1=根号1+xn证明数列极值存在并求值

Answer 1

证明：先用数学归纳法证xn<2
n=1时 X1=√2<2
假设n=k时有Xk<2
Xk+1=√(2+Xk)<√(2+2)<2
再证单调性。(Xn+1)^2 -(Xn)^2=2+Xn -(Xn)^2 =(2-Xn)(1+Xn)>0
所以 Xn+1 >Xn
综上可知，xn单调递增且有上界，故极限存在
设极限为a 因为n→∞时，lim Xn+1 =lim Xn =a
对Xn+1=√(2+Xn) 两边求极限
a=√(2+a) a=2 所以极限为2