Question

用数学归纳法证明1^3+2^3+3^3+..+n^3=n^2(n+1)^2/4=(1+2+3+..+n)^2 我现在就需要 谢谢 快点哦！！

Answer 1

（1）当n=1时，1^3=1^2成立
（2）假设n=k也成立

当n=k+1时，
1^3+ 2^3+···+k^3+(k+1)^3
=(1+2+3···+k)^2+(k+1)^3
=k^2(1+k)^2/4+(k+1)^3 运用等差数列求和公式
=(k+1)^2(k^2/4+k+1)
=(k+1)^2(k+1+1)^2/4 反用等差数列求和公式
=(1+2+3+...+k+1)^2
（3）综上，1^3+2^3+3^3+..+n^3=n^2(n+1)^2/4=(1+2+3+..+n)^2 成立

追问

那我不可以这样做么？！当n=k+1时，1^3+ 2^3+···+k^3+(k+1)^3=4/[k^2(k+1)^2+4(k+1)^3] 之后变成4/(k+1)^2[k ^2+4k+4]把中括号里的变成(k+2)^2就等于4/(k+1)^2(k+2)^2也就等于4/(k+1)^2(k+1+1)^2 所以1^3+2^3+3^3+...+n^3=4/n^2(n+1)^2 但是 但是后面那个我就不知道要怎么办了、、

追答

很简单啊呀，就是1+2+…………+n=（n+1）n/2
等差数列的逆运算

Answer 2

n=1时，1^3=1^2，成立
设n=k时成立1^3+2^3+3^3+..+k^3=k^2(k+1)^2/4=(1+2+3+..+k)^2
n=k+1时，1^3+2^3+3^3+..+n^3=(1^3+2^3+3^3+..+k^3)+(k+1)^3=k^2(k+1)^2/4+(k+1)^3
=(k^2(k+1)^2+4(k+1)^3)/4
=(k^2+4(k+1))(k+1)^2/4
=(k+1)^2(k+2)^2/4
=(1+2+3+...+(k+1))^2

追问

那我不可以这样做么？！当n=k+1时，1^3+ 2^3+···+k^3+(k+1)^3=4/[k^2(k+1)^2+4(k+1)^3] 之后变成4/(k+1)^2[k ^2+4k+4]把中括号里的变成(k+2)^2就等于4/(k+1)^2(k+2)^2也就等于4/(k+1)^2(k+1+1)^2 所以1^3+2^3+3^3+...+n^3=4/n^2(n+1)^2 但是 但是后面那个我就不知道要怎么办了、、