Question

证明：方程X3-3X c=0(c为常数)在闭区间[0,1]内不可能有两个不同的实根

高手解决一下吧！

Answer 1

证明：设f(x)=x^3-3x+c
若在闭区间[0,1]内有两个不同的实根0≤x1<x2≤1，则有
f(x1)=f(x2)=0
根据罗尔中值定理，那么在区间(x1,x2)上必有0<x3<1满足f'(x3)=0
也即f'(x3)=3x3^2-3=3(x3^2-1)=0
而事实上因0<x3<1，故f'(x3)=3(x3^2-1)<0，二者矛盾。
所以原假设不成立。
所以，该方程在闭区间[0,1]内不可能有两个不同的实根。

Answer 2

令f(x)=x^3-3x+c
则方程f(x)=0的实根即函数f(x)的零点
对f(x)求导有f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)

显然当x=1时f'(x)=0，易知f(x)有一个最小值点
此时f(x)在整个R上最多只有两个零点
即区间(-∞,1)上最多只有一个，区间(1,+∞)上也最多只有一个
这意味着f(x)在区间[0,1]上最多只有一个零点

而当0≤x<1时，因x^2-1<0，则f'(x)<0，表明f(x)为减函数
此时f(x)在整个R上最多只有一个零点
这意味着f(x)在区间[0,1]上也最多只有一个零点

综上，f(x)在区间[0,1]上最多只有一个零点
即方程f(x)=0在区间[0,1]上不可能有两个实根

Answer 3

设f(x)=x3-3x+c在[0，1]上显然连续
在(0,1)上可导 f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1)那么在[0，1]上显然f'(x)小于等于0说明函数是单调减函数所以x3-3x+c=0在[0，1]上不可能有两相异实根。