Question

高中向量题

已知直线l为Ax+By+C=0(A^2+B^2≠0),l外一点P(a,b)为定点,M为l上的一动点,过P作PD⊥l，垂足为D.(1)求l的一个单位法向量n.(2)求向量PM·向量n (3)求向量PD

Answer 1

（1）直线L的方向向量为（-B,A）,故其法向量为k·（A,B），欲取一个单位法向量则为：n=（A/根号（A方+B方），B/根号（A方+B方））。注：与向量a共线的单位向量为：±a乘以（a模的倒数）
（2）设M(x,y),则Ax+By=—C(下面代入要用)，向量PM坐标为（x-a,y-b）,故
向量PM·向量n=（x-a,y-b）·（A/根号（A方+B方），B/根号（A方+B方））
=(Ax—Aa+ By-Bb)/根号（A方+B方）=(—Aa—Bb—C)/根号（A方+B方）
(3)由（2）知当点M为D点时，向量PD与向量n共线，夹角为0°或180°,故｜向量PD·向量n｜＝｜PD｜·｜n｜，而｜n｜＝1,
故有｜PD|=｜向量PD·向量n｜=|—Aa—Bb—C|/根号（A方+B方）=|Aa+Bb+C|/根号（A方+B方） (*)
而向量PD＝±｜PD|×向量n=±|Aa+Bb+C|/根号（A方+B方）×（A/根号（A方+B方），B/根号（A方+B方））
=±（A·|Aa+Bb+C|/根（A方+B方），B·|Aa+Bb+C|/（A方+B方））
其中取“+”还是“—”要看点P在直线何侧而定。（*）处式实为求点P到直线L的距离公式。