Question

一道初三数学二次函数题，求大神速解.在线等.

已知：二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A(0,4),顶点在x轴上,且对称轴在y轴的右侧.设直线y=x与二次函数图像自左向右分别交于P(x1,x2),Q(x2,y2)两点,且OP:PQ=1:3. (1)求二次函数的解析式.(2)求三角形PQA的面积.(3)在线段PQ上是否存在一点D,使三角形APD全等于三角形QPA.若存在,求出点D坐标,若不存在,说明理由.

Answer 1

过点A（0,4）所以c=4
假设抛物线与x轴有交点，则ax²+bx+4=0
两个根只和为-b/a，
y=ax²+bx+4与y=x联立
由韦达定理x1+x2=（1-b）/a，x1x2=4/a，
OP：PQ=1:3
所以x2=4x1，y2=4y1
所以a=16，b=-19
所以抛物线方程y=16x²-19x+4
P（1/4，1/4），Q（1，1）
S△PAQ=S△PAO-S△OAQ=（1/2）*4*1-（1/2）*4*（1/4）=3/2
设存在D（x，x）使两个三角形全等，则对应边相等，即AP=AD且PQ=QD或者AP=QD且PQ=AD
因为△APQ不是直角三角形，所以第二种情况舍去（画图就能看出对应角的关系）
求出AP²=113/8，PQ²=9/8根据两点距离公式
x²+（x-4）²=113/8
2（x-1）²=9/8，解x=27/7，所以D（27/4，27/4）