Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB=3 4 ，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得

如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，AB=3，tan∠AOB= 34，将△OAB绕着原点O逆时针旋转90°，得到△OA1B1；再将△OA1B1绕着线段OB1的中点旋转180°，得到△OA2B1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B、B1、A2．（1）求抛物线的解析式．（2）在第三象限内，抛物线上的点P在什么位置时，△PBB1的面积最大？求出这时点P的坐标．（3）在第三象限内，抛物线上是否存在点Q，使点Q到线段BB1的距离为 22？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

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（1）∵AB⊥x轴，AB=3，tan∠AOB=3/4 ∴OB=4
∴B（-4,0），B1（0，-4），A2（3,0）
∵抛物线过三点
∴(-4)²a-4b+c=0；c= -4；3²a+3b+c=0；得：a=b=1/3，c= -4
∴抛物线:y=1/3x²+1/3x-4
(2)P在第三象限内,过P作PC⊥x轴于点C，设P(m,n),则m<0,n<0,n=1/3m²+1/3m-4,
∴PC=-n= -1/3m²-1/3m+4,
OC=-m,
BC=OB-OC=4+m
S△PBB1=S△PBC+S梯形PB1OC-SOBB1
=1/2(4+m)(-1/3m²-1/3m+4)+1/2[(-1/3m²-1/3m+4)+4](-m)-1/2(4²)
= -2/3(m+2)²+8/3
当m=-2时，△PBB1面积最大，此时n= -10/3，即点P（-2， -10/3）
（3）假设在第三象限内抛物线上存在点Q(x0,y0)，使点Q到线段BB1的距离为√2/2【这里和你的数据不同】，过Q作QD⊥BB1于D
由(2)知，此时SOBB1=-2/3( x0+2)²+8/3
在Rt△PBB1中，BB1=4√2
∵S△PBB1=1/2×BB1×QD=2
∴-2/3( x0+2)²+8/3=2，解得：
x0= -1或x0= -3
当x0= -1时，y0= -4；当x0= -3时，y0= -2
∴在第三象限内抛物线上存在点Q(-1，-4)或Q(-3，-2)使点Q到线段BB1的距离为√2/2.

追问

这确定正确吗？