Question

如图，已知M是△ABC边AC的中点，E在AB上，且AE=¼AB，EM的延长线交BC延长线于D，求证 CD：BC=1：2

Answer 1

解：过M作MF∥BD，如图所示：
∵M是AC边的中点，
∴FM为△ABC的中位线，即FM=1/2BC，F为AB的中点，
∴AE=1/4AB
∴EF=1/3EB
∵MF∥BC，
∴△EFM∽△EBD，其相似比为1：3，即FM=1/3BD
∵FM=1/2BC，
CD=1/2BC，
即 CD：BC=1：2
命题得证

Answer 2

证明：过点C作CN∥AB交ED于N
∵AE＝1/4AB
∴BE＝AB-AE＝3/4AB
∴AE/BE＝1/3
∵CN∥AB
∴∠A＝∠NCM，∠AEM＝∠CNM
∵M是AC的中点
∴AM＝CM
∴△AEM≌△CNM （AAS）
∴CN＝AE
∴CN/BE＝1/3
又∵CN∥AB
∴△DCN∽△DBE
∴CD/BD＝CN/BE＝1/3
∴BD＝3CD
∴BC＝BD-CD＝2CD
∴CD：BC＝1：2

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Answer 3

过E做BC的平行线，交AC与F点
则可以得到 EMF与 DMC相似
又因为E是AB的1/4点，可以得到 F是AC的1/4点。可以得到MC = 2FM
所以可以得到 CD = 2EF
因为EF平行于BC，又是1/4点，所有BC =4 EF
所以BC = 2CD
证毕

Answer 4

加油呀