Question

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4

如图，点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且BE=BC，AB=3，BC=4，点P为直线EC上的一点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R．（1）如图1，当点P为线段EC中点时，易证：PR+PQ= 125（不需证明）．（2）如图2，当点P为线段EC上的任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P为线段EC延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．

Answer 1

1）PR + PQ = AB * BC / BD
EF⊥BC交BC F点。连接BP，
∵△BEP面积= 1/2BE * PR，△BCP的面积= 1/2BC * PQ，BE = BC
∴△BCE区BEP面积=△+△BCP区= 1/2BC *（PR + PQ）
区∵△BCE = 1/2BC * EF，∴PR + PQ = EF
∵EF⊥BC，CD⊥BC∴EF∥CD <BR / ∴△BEF∽△BCD，∴EF / CD = BE / BD = BC / BD，
∴EF = CD * BC / BD = AB * BC / BD
∴PR + PQ = AB * BC / BD
与勾股定理，BD = 5∴PR + PQ = 3 * 4/5 = 2.4
可以看出，从上面的证明点P，得出的结论是一样的，在计算EC无关的中点。
3）如果P EC延长线，可以得到类似的方法，使用PR-PQ = AB * BC / BD = 2.4

Answer 2

好