Question

设函数f(x)可导,且满足f(x)-∫(上限为x,下限为0)f(t)dt=e^x,求f(x) 需要详解，谢谢

Answer 1

1. f(x)-∫(上限为x,下限为0)f(t)dt=e^x    x=0  f(0)-0=1       f(0)=1

2. m=∫(上限为x,下限为0)f(t)dt          f(x)-m=e^x      m=f(x)-e^x    两边积分

3. 得到  mx=m-(e^x-1)     m=[1-e^x]/[x-1]

4. f(x)=e^x+m=e^x+ [1-e^x]/[x-1]

Answer 2

f'(x)-f(x)=e^x
f'(x)e^(-x)-f(x)e^(-x)=1
[f(x)e^(-x)]'=1
d(f(x)e^(-x))=dx
f(x)e^(-x)=x+C
f(x)=xe^x+Ce^x
其中C为常量

追问

答案给的是你得出的答案，可为什么
f(x)-∫(上限为x,下限为0)f(t)dt=e^x x=0 f(0)-0=1 f(0)=1
m=∫(上限为x,下限为0)f(t)dt f(x)-m=e^x m=f(x)-e^x 两边积分
得到 mx=m-(e^x-1) m=[1-e^x]/[x-1]
f(x)=e^x+m=e^x+ [1-e^x]/[x-1]
这种解法不行？

追答

既然m=那个积分，也就是m不是一个常量，它是一个x的函数
而你在做的过程中却把m当常量来处理，所以肯定不对。

追问

那你的解法第一步是对方程求导，两边求导后，因为有上下限，不是等于f'(x)-f(x)+f(0)=e^x吗？然后因为f（0）=1

追答

不会有f(0)