Question

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）= f(b)-f(a) b-a ，则

定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=f(b)-f(a)b-a，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．如y=x4是[-1，1]上的平均值函数，0就是它的均值点．（1）判断函数f（x）=-x2+4x在区间[0，9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；（2）若函数f（x）=-x2+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

是f(x0)=[f(b)-f(a)]/(b-a)吧？
1、
f(9)=45，f(0)=0，则：[f(9)-f(0)]/(9-0)=5
假设是平均值函数，则f(x0)=5 （0<x0<9）
即：-x0²+4x0=5
x0²-4x0+5=0
无解
所以，f(x)=-x²+4x在区间[0,9]上不是平均值函数。

2、
f(1)=m，f(-1)=-m，则：[f(1)-f(-1)]/(1+1)=m
f(x)=-x²+mx+1是区间[-1，1]上的平均值函数，
即：-x²+mx+1=m在区间(-1,1)上有解
x²-mx+m-1=0
[x-(m-1)](x-1)=0
x1=m-1，x2=1
所以，-1<m-1<1
得：0<m<2
所以，实数m的取值范围是（0,2）

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O