Question

设f（x）在（0， ∞）上有定义，且f（x）在（0，+∞）内单调减小，证明:对任意两点x1＞0，x2

设f（x）在（0， ∞）上有定义，且f（x）在（0，+∞）内单调减小，证明:对任意两点x1＞0，x2＞0，有f（x1+x2）＜=f（x1）+f（x2）
打错了，第二个条件f（x）应为f（x）/x

Answer 1

你这给的是错的。
例如f(x)=-√x在(0,+∞)上有定义，且在(0,+∞)内单调递减，
取x1=1,x2=2,则f(x1+x2)=f(3)=-√3,f(x1)=f(1)=-1,f(x2)=f(2)=-√2,
显然-√3>-1+(-√2),所以f(x1+x2)>f(x1)+f(x2).

改正后，那可以这样证明：
因为f(x)/x在(0,+∞)上单调递减，
而对任意两点x1>0,x2>0,x1+x2>x1>0,x1+x2>x2>0,
所以f(x1+x2)/(x1+x2)≤f(x1)/x1,即x1*f(x1+x2)≤(x1+x2)f(x1),
f(x1+x2)/(x1+x2)≤f(x2)/x2,即x2*f(x1+x2)≤(x1+x2)f(x2),
上述两不等式相加得：
(x1+x2)*f(x1+x2)≤(x1+x2)*[f(x1)+f(x2)],
即f(x1+x2)≤f(x1)+f(x2),

Answer 2

看这个例子 y=-√x 显然在（0，+∞）内单调减小 x1=1,f(x1)=-1 x2=2 f(x2)=-√2=-1.414
x1+x2=3 f(3)=-√3=-1.732 而-1.732>(-1+-1.414)
所以。你的题目是错的