Question

一道初三数学题目，高手进！！！

已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．

Answer 1

1
①∵∠BAC=90°AB=AC
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF∠DAF=90°
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC ∠CAF=∠DAF-∠DAC
∴∠BAD=∠CAF ∴△BAD≌△CAF
∴∠ACF=∠ABD=45° ∴∠ACF+∠ACB=90°
∴BD⊥CF
② 由①△BAD≌△CAF可得BD= CF
∵BD=BC-CD ∴CF=BC-CD
2
CF=BC+CD
3
①CF=CD-BC
②∵∠BAC=90°AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=45°则∠ABD=180°-45°=135°
∵四边形ADEF是正方形 ∴AD=AF∠DAF=90°
∵∠BAD=∠DAF -∠BAF ∠CAF=∠BAC -∠BAF
∴∠BAD=∠CAF ∴△BAD≌△CAF
∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135° ∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°
则△FCD为直角三角形 ∵正方形ADEF中O为DF中点
∴OC=DF /2
∵在正方形ADEF中OA=AE /2AE=DF ∴OC= OA
∴ △AOC是等腰三角形

Answer 2

（1）∠BAC-∠CAD=∠DAF-∠CAD
AB=AC AD=AF
△BAD全等于△CAF
所以∠bca=∠acf=45°
BD⊥CF CF=BD=BC-CD．
（2）
∠BAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD
AB=AC AD=AF
△BAD全等于△CAF
所以CF=BD=BC+CD．

（3）∠CAD-∠BAC=∠CAD-∠DAF
AB=AC AD=AF
△BAD全等于△CAF
所以
CF=BD=CD-BC．BC⊥CF
O是DF中点。
OC=1/2DF=OA
所以△AOC是等腰三角形

Answer 3

证明（1）由题的（前略，你应该会知道）
因为角DAC加角BAD=角DAC加角FAC，所以角BAD=角FAC，因为AB=AC，AD=AF，所以三角形ABD全等于三角形ACF，所以角B等于角ACF=45度，因为角ACB等于45度，所以角BCF=90度。所以CF=BD=BC-CD
（2）CF=BC+CD
（3）CF=CD-BC
三角形AOC是等腰三角形
因为在三角形ABC中，角ABC=角ACB=45度，所以角ABD=角ACF=135度，所以角DCF=90度。因为OD=OF（过程略）所以OD=OF=OC，因为OA=OF，所以三角形AOC是等腰三角形

Answer 4

（1）证明：
①∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，∴∠BAD=∠CAF。
∴△BAD≌△CAF（SAS）。 ∴∠ACF=∠ABD=45°。∴∠ACF+∠ACB=90°。∴BD⊥CF 。
② 由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
∵BD=BC-CD，∴CF=BC-CD。

（2）CF=BC+CD。

（3）
①CF=CD-BC 。
②△AOC是等腰三角形。理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°。则∠ABD=180°-45°=135°。
∵四边形ADEF是正方形，∴AD=AF，∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠DAF -∠BAF，∠CAF=∠BAC -∠BAF，∴∠BAD=∠CAF。
∴△BAD≌△CAF（SAS）。∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°。
∴∠FCD=∠ACF -∠ACB =90°，则△FCD为直角三角形。
∵正方形ADEF中，O为DF中点，∴OC= DF 。
∵在正方形ADEF中，OA= AE ，AE=DF，∴OC=OA。∴△AOC是等腰三角形。

Answer 5

在这我简要说下图一的 文字要楼主自己组织
在图一只要证明三角形BAD=三角形CAF就简单了
AB=AC 角BAD=角CAF（前面已知角BAC和角DAF是直角）　　AD＝AF sas（边边角可以证明三角形BAD全等与三角形CAF）
所以角ABD=角ACF 又因为角ABC+角ACB=90度 所以角ACF＋角ACB=90度 即是BD⊥CF
CF=BC-CD CF=BD 后面就简单了

下面的两题一会补上