Question

【高一数学 选修1-1】抛物线y²=4x上一点A到点B（3，2）与焦点的距离之和最小，则A的坐标为

Answer 1

解答：

抛物线y²=4x

∴ 准线x=-1,焦点F（1,0）

利用抛物线的定义：如下图

则|AB|+|AF|

=|BA|+|AD|

利用平面几何中点到线的垂线段最短

∴ 当A是B到准线的垂线段与抛物线的交点时，|BA|+|AD|最小

∴ A的纵坐标=B的纵坐标

∴ yA=2

代入抛物线方程 yA²=4xA

∴ xA=1

∴ A的坐标是(1,2),

|AB|+|AF|的最小值为4

Answer 2

y²=4x
2p=4
p/2=1
准线x=-1

B在抛物线内
由抛物线定义
A到焦点距离等于到准线距离
则画图可知
过B做BC垂直准线
BC和抛物线焦点是P
显然A和P重合时
AB加上A到准线距离最短
即AB+A到焦点距离最短
所以A纵坐标和B一样，是2
x=y²/4
y=2,x=1
所以A(1,2)

Answer 3

解：由y²=4x可知2p=4，所以p/2=1
准线x=-1
由图可知（这里作图不是很方便）
过B做BC垂直准线，BC和抛物线焦点是P
显然A和P重合时，AB加上A到准线距离最短
即AB+A到焦点距离最短
所以A纵坐标和B一样，为2
x=y²/4
当y=2时，得,x=1
所以A(1,2)