Question

矩阵的逆的特征值和原矩阵的特征值的关系是什么？怎么证明？是倒数关系么？

Answer 1

关系：如果λ是A的一个特征值，那么1/λ是A^(-1)的一个特征值。

证明：设λ是A的特征值

α是A的属于特征值λ的特征向量则Aα=λα.若A可逆

则λ≠0.等式两边左乘A^-1

得α=λA^-1α.所以有 A^-1α=(1/λ)α所以(1/λ)是A^-1的特征值

α是A^-1的属于特征值1/λ的特征向量，所以互逆矩阵的特征值互为倒数

例如：

E+2A的特征值是1+2*A的特征值

行列式等于特征值的乘积

若λ是A的特征值，α是A的属于特征值λ的特征向量

则 Aαdu = λα

A可逆时，等式两边左乘A^-1得 α = λA^-1α

又因为A可逆时，A的特征值都不等于0

所以 (1/λ)α =A^-1α

即 1/λ 是 A^-1 的特征值

扩展资料：

系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记¦(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。

¦(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程¦(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。

参考资料来源：百度百科-矩阵特征值

Answer 2

是的 看看图片吧