Question

（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．

（2009•江西）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB=4，BC=6，∠B=60度．
（1）求点E到BC的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP=x．
①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；
②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) E点做辅助线垂直BC，交BC于G点， EG即为E点到BC的距离：
EG=BE*sin∠B=1/2AB*sin60º=√3
(2)①不变
PM=EG, MN=AB
做辅助线NH⊥EF,交EF于H点，设N交EF于K点，可以得出，⊿PMK≌⊿HNK,
PK=KH
PM⊥EF
∴PM²+PK²=MK²=BE²=4
∴PK=1
PN²=NH²+PH²=EG²+(2PK)²=3+4=7
PN=√7
⊿PMN的周长=PN+PM+MN=√7+√3+4
②辅助线NO⊥BC，交BC于O点,MN于EF交于K点，NO与EF交于H点
依题意，PN=PM=√3
AB=4，BC=6，∠B=60º,
∴AD=2，EF=4
MN∥AB,
MN=NC,∠PMC=90º,∠NMC=60º
∴∠PMN=∠PNM=30º
KH=HF,
PK=EF-KH-HF-EP
PK=MK*sin∠PMN=2*1/2=1
∠PMN=∠PNM=30º,
∴∠MNO=30º,
∴∠PNO=60º
∴PH=PN*sin60º=3/2
∴KH=PH-PK=3/2-1=1/2
∴x=EF-PH-FH=4-3/2-1/2=2
P点位EF的中点