Question

求数学大虾帮我看下这题，设f'(0)=f''(0)=0,f'''(0)=-1,研究f（x）=0处函数f（x）的性状

设f'(0)=f''(0)=0,f'''(0)=-1,研究f（x）=0处函数f（x）的性状
这题网校的老师是这么做的，因为f'''(0)=-1，由定义得f'''(0)=limx->0 [f''(x)-f''(0)]/[x-0]=limx->0 f''(x)/x=-1<0,由保号性，存在s>0，当 0<|x-0|<s时，f''(x)/x<0. 当x属于(-s,0)时，f''(x)>0,当x属于(0,s)时，f''(x)<0.所以（0,f(0)）是拐点。但是老师做到这就没做了。我自己继续往下做的时候就产生了疑问：这点是否还是极值点？f'(0)=0这个条件是否有用？

Answer 1

f`(0)=0，说明其是稳定点，但二阶导在两边不同号且f"(0)=0，所以其为拐点，根据极值定义可知不是极值点，给你举个冽子，f(x)=x^3在0处非极值点，可以追问

追问

你还是没说清楚如何不是极值点呀，你说的“根据极值定义可知不是极值点”，你是如何根据极值定义可知其不是极值点的？

追答

极值点的定义：设X0是f(x)的(局部）极值点，且f(x)的导数存在，则f(x)的导数为0，但f(x)的导数为零并不意味着X0是极值点。只有当在X0的左边，f(x)的导数大于0（小于0），而在X0的右边，f(x)的导数小于0（大于0）时，X0是极大（小）值点
简单的说，如果是闭区间，那么在这个闭区间上，可以取到最小（最大）的那个值，那么叫做最小值（最大值）。但是如果是开区间的话，就取不到那个最小值（最大值），这时候就要引入导数的概念，来定义极小值（极大值）。

追问

你说的这个我知道啊，我是问你怎么知道X0的左边，f(x)的导数不是大于0（小于0），而在X0的右边，f(x)的导数不是小于0（大于0）呢？

追答

二阶导数不是已经证明 了当x属于(-s,0)时，f''(x)>0,当x属于(0,s)时，f''(x)<0. 因为f‘(0)=0 所以x属于
(-s,0)时f'(x)<f'(0)=0 x属于(0,s)时f'(x)<f'(0)=0 若还不懂可继续追问 记得 采纳哦

追问

哦，恍然大悟

Answer 2

该点不是极值点。
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!x²+f'''(0)/3!x³+....
f(x)=f(0)-1/6x³+...
f(x)和f(0)大小不定，即不是始终保证f(x)>f(0)或f(x)<f(0).