Question

若曲线2x=√(4+y²)与直线y=m(x+1)有公共点,则实数m的取值范围是

若曲线2x=√(4+y²)与直线y=m(x+1)有公共点,则实数m的取值范围是
求详细地解题过程

Answer 1

2x=√(4+y^2) 化为 x^2-y^2/4=1 (x>=2) 表示双曲线的右支，
其渐近线方程为 y=±2x ，
y=m(x+1) 表示过（-1，0）的直线 ，
画图可得，当 -2<m<2 时，它们有公共点 。

代数解答：将 y=m(x+1) 代入双曲线方程得 x^2-m^2(x+1)^2/4=1 ，
化简得 (4-m^2)x^2-2m^2x-m^2-4=0 ，
要使方程有大于或等于 2 的根，只须
（1）二次项系数不为 0 ：4-m^2 ≠ 0 ；
（2）判别式=4m^4+4(4-m^2)(m^2+4)>=0 ；
（3）x1+x2=2m^2/(4-m^2)>4 ；
（4）(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=(m^2+4)/(m^2-4)-4m^2/(4-m^2)+4>=0 ，
解得 -2<m<2 。

追问

要使方程有大于或等于 2 的根，只须
（1）二次项系数不为 0 ：4-m^2 ≠ 0 ；
（2）判别式=4m^4+4(4-m^2)(m^2+4)>=0 ；
（3）x1+x2=2m^2/(4-m^2)>4 ；
（4）(x1-2)(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=(m^2+4)/(m^2-4)-4m^2/(4-m^2)+4>=0 ，
这个好像不能推出 -2<m<2

追答

有两个地方确实弄错了。一个是 x 的范围，应该是 x>=1 ，（x^2-y^2/4=1 的右支）
另一个是，那四个条件是方程的两个根都大于 2 的条件。

这样做简单点：
分离变量得 m^2=(4x^2-4)/(x^2+2x+1)=4(x-1)/(x+1)=4-8/(x+1) ，
由 x>=1 得 0<=m^2<4 ，
因此 -2<m<2 。

Answer 2

2x=√(4+y²) ；两边同时平方得到x^2-y^2/4=1(x>=0)
所以曲线是该双曲线的右支
双曲线的渐近线是y=2x和y=-2x
y=m(x+1) 经过定点（-1,0）
若曲线2x=√(4+y²)与直线y=m(x+1)有公共点
根据图像可知 -2<m<2

Answer 3

曲线2x=√(4+y²)表示以F1(-√5，0) F2(√5，0)为焦点 以A1(-1，0) A2(1，0) 为
顶点 以y=±2x为渐近线的双曲线的右支 （因为x>0)
而直线y=m(x+1)恒过点（-1,0） 若曲线2x=√(4+y²)与直线y=m(x+1)有公共点
则-2<m<2