Question

若函数f(x)在[0,1]上有定义 f(0)=f(1) 且对任意不同的x1 x2∈[0,1] 都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1|

若函数f(x)在[0,1]上有定义 f(0)=f(1) 且对任意不同的x1 x2∈[0,1] 都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1| 求证|f(x2)-f(x1)|<0.5
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Answer 1

本题可以用论述和作图相结合证明。

证明：

 由题意知，f(0)=f(1) 且对任意不同的x1 x2∈[0,1]，即f(x)在x1 x2∈[0,1]区间是非单调递增或递减函数。设x1和x2的中点为xo，

1、若f(x2)>f(x1),

（1）当x2>x1时，则可表示为(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<1,f(x)函数此时的斜率小于1,即x1，x2的连线与x轴的夹角小于45°，设x1和x2的中点为xo，对于x1和x2构成连线的上半轴，经过x1斜率为1的直线与经过x3斜率为-1的直线交点记为x3，由图易知，此时f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<x3-xo=1/2

（2）当x2<x1时，同理可证

2、若f(x2)<f(x1),如山两种情况类似，同理可证。

综合，即得：

若函数f(x)在[0,1]上有定义 f(0)=f(1) 且对任意不同的x1 x2∈[0,1] 都有|f(x2)-f(x1)|<|x2-x1| 求证|f(x2)-f(x1)|<0.5。

证毕

 

附图：

追问

即x1，x2的连线与x轴的夹角小于45°，设x1和x2的中点为xo，对于x1和x2构成连线的上半轴，经过x1斜率为1的直线与经过x3斜率为-1的直线交点记为x3，由图易知，此时f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<x3-xo=1/2, 不知说的什么意思？

追答

若f(x2)>f(x1),当x2>x1时，
f(x2)-f(x1))表示的是点x1和点x2在y轴上的投影距离，
f（x）的斜率小于1，故有
f(x2)-f(x1))<(x2-x1)<x3-xo=1/2,

画图时，点x1和x2不一定在(0,0)和(1,0)坐标上

追问

(x2-x1)<x3-xo=1/2,为什么？如X1在（0,0）位置，只要X2大于1/2，(x2-x1)<x3-xo=1/2就不成立

追答

(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)<(x3-xo)/(x2-x1)<(x3-xo)/(1-0)=1/2，我是这个意思

追问

(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)(x3-xo)/(1-0)=1/2

追答

用斜率和图结合，你自己考虑吧，我说完了啊

Answer 2