Question

已知函数f(x)=|x-a|-lnx. (1)若a=e,求f(x)的最小值;(2)若a属于R,试研究

已知函数f(x)=|x-a|-lnx. (1)若a=e,求f(x)的最小值;(2)若a属于R,试研究函数f(x)的单调性。急啊。。。

Answer 1

解：（1）本题x>0..。当x>=e时，f(x)=x-e-lnx，∵f′(x)=1-1/x>0∴单调递增，f(x)>=f(e)=-1
当x<=e时，f(x)=e-x-lnx，∵f′(x)=-1-1/x<0∴单调递减，f(x)>=f(e)=-1
∴f(x)最小值为-1
（2）若a.>=1时。x>=a时，f(x)=x-a-lnx,∵f′(x)=1-1/x>0∴单调递增；当0<x,<=a时，f(x)=a-x-lnx，∵f′(x)=-1-1/x<0∴单调递减。
若0<a<1时。x>=1时，f(x)=x-a-lnx,∵f′(x)=1-1/x>0∴单调递增；当a<x,<1时，f(x)=x-a-lnx，f′(x)=1-1/x<0∴单调递减；当0<x<=a时，f(x)=a-x-lnx，∵f′(x)=-1-1/x<0∴单调递减。
若a<=0时。f(x)=x-a-lnx，f′(x)=1-1/x.。x>=1时，,∵f′(x)>0∴单调递增；当0<x,<=1时，∵f′(x)<0∴单调递减。

Answer 2

(1)x=a时，f（x）有最小值
因为a=e所以x=e
f(x)=-lne=-1
(2)任取x1,x2属于R且x1<x2
f(x1)-f(x2)=|x1-a|-|x2-a|+lnx2/x1
因为绝对值恒正，lnx2/x1>0，所以f(x1)>f(x2)
所以，f（x）为减函数