Question

已知O为坐标原点，点A（2,9）B（4,3）点c的横坐标为6，且向量AB与AC共线

（1）求C的坐标（直接写出结果）
（2）若点D在线段AC的延长线上，求向量OB··OD的取值范围
（3）若点E为线段OB上的一个动点，求向量OE·（AE+CE)的取值范围

Answer 1

（1）C 坐标为（6，-3）。
（2）设 AD=λAC（λ>1），则 OD=OA+AD=OA+λ(OC-OA)=(1-λ)OA+λOC ，
所以 OB*OD=(1-λ)OA*OB+λOC*OB=(1-λ)(8+27)+λ(24-9)=35-20λ<15 。
（3）设 OE=λOB（0<=λ<=1），则 OE=（4λ，3λ），
AE+CE=2OE-OA-OC=（8λ-8，6λ-6），
因此 OE*(AE+CE)=4λ(8λ-8)+3λ(6λ-6)=50λ^2-50λ=50(λ-1/2)^2-25/2 ，
由 0<=λ<=1 知，当 λ=1/2 时最小值为 -25/2 ，当 λ=0 或 1 时最大值为 0 ，
所以，所求范围是 [-25/2，0] 。