Question

求初二一道数学题的解答

如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD,BC分别相交于M、N，与BD相交于点O，连接BM，DN
（1）求证：四边形MBND是菱形
（2）若AB=4，AD=8，求MN的长

Answer 1

(1) ∵矩形ABCD ∴AD∥CB ∴∠MDB=∠NBD ∵MN垂直平分BD ∴BO=DO ∵∠ MOD=∠NOB ∴△MOD≌△NOB(ASA) ∴ON=OM ∴BD⊥MN且BD、MN互相平分 ∴四边形MBND是菱形 (2)
设MD=x ∵菱形MBND ∴MD=MB=x ∵AB=8 ∴AM=8-x ∵矩形ABCD ∴∠A=90°,AB=8 ∴AB2+AM2=BM2 ∴16+X2= (8-X) 2 ∴X=5 在直角三角形ABD中，AD=8,AB=4 ∴BD=4根号5 ∴BO=2根号5 ∴OM=根号5 ∴MN=2OM=2根号5

Answer 2

【参考答案】

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∵MN是BD的中垂线，
∴OB=OD，BD⊥MN,OM/ON=OD/OB
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）设MD=BM=X，则AM=8-X，
在RTΔABM中，BM²=AB²+AM²
∴X²=16+(8-X)²，X=5
∵sin角ADB=1/√5=MO/5
解得 MO=√5
∴MN=2MO=2√5

Answer 3

（1）证明：∵AD∥BC∴∠ADB=CBN∵∠MOD=∠NOB, OB=OD∴△DOM≌△BON
∴OM=ON∴四边形BNDM是平行四边形∵BD⊥MN∴平行四边形BNDM是菱形
（2）解：设DM=BN=x，那么AM=AD-DM=8-x。
勾股定理，x²=（8-x）²+4²∴x=5，
勾股定理，BD=根号（4²+8²）=4根号5，∴OD=2根号5
勾股定理，OM=根号（DM²-OD²）=根号5
∴MN=2OM=2根号5

Answer 4

证明:由已知对角线BD的垂直平分线MN
MD=ND
AD//BC
<DMO=<ONB,<MOD=<BON=90,MD=ND
RT三角形MOD全等RT三角形BON(ASA)
MD=BN 因,MD//BN
四边形MBND是平等四边形,又MD=ND
四边形MBND是菱形
设MD=XM 则AM=8-X
X^2=4^2+(8-X)^2
X=5, DB=根号(AB^2+AD^2)=根号(4^2+8^2)=4根号5
RT三角形MDO相似于RT三角形ABD
OM/AB=MD/DB,
OM=MD*AB/DB=5*4/4根号5=根号5
MN=2OM=2根号5

Answer 5

∵MN是BD的垂直平分线
∴BO=OD，∠BOM=∠DOM=90°
∴⊿BOM≌⊿DOM
∴BM=MD

Answer 6

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC
∵MN是BD的中垂线
∴OB=OD，OM=OM
∴三角形OBM与三角形ODM全等，所BM=DM，同理可证BM=BN，BN=DN
所以，四边形MBND的四条边相等，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形MBND是菱形．

（2）设MD=BM=X，则AM=8-X，
在RTΔABM中，BM²=AB²+AM²
∴X²=16+(8-X)²，X=5
又∵BD²=AB²+AD²
∴ BD²=4²+8²=80， ∴BD=4√5
∴BO=BD/2=2√5
在三角形BOM中，OM²=BM²-OB²
∴OM²=25-20=5
OM=√5
∴MN=2MO=2√5