Question

已知k∈R,设f(θ)=cos∧2θ+(k-4)sinθ+2k-9,其中θ∈[0,2π)

若对任意θ∈[0,2π﹚，f（θ）≤0恒成立，求k的取值范围
我一个字一个字打出来很不容易的T-T

Answer 1

f(θ)=1-sin²θ+(k-4)sinθ+2k-9
f(θ)=-sin²θ+(k-4)sinθ+2k-8
令sinθ=t，y=f(θ)
θ∈[0,2π)，则：t∈[-1,1]
则：y=-t²+(k-4)t+2k-8
f(θ)≦0对任意θ∈[0,2π﹚恒成立
即：y≦0对任意t∈[-1,1]恒成立
-t²+(k-4)t+2k-8≦0
k(t+2)≦t²+4t+8
t+2>0
所以，k≦(t²+4t+8)/(t+2)对任意t∈[-1,1]恒成立
令g(t)=(t²+4t+8)/(t+2)，t∈[-1,1]
则k要小于等于g(t)的最小值
g(t)=[(t+2)²+4]/(t+2)=t+2+4/(t+2)
令t+2=a，h(a)=g(t)，则：a∈[1,3]
h(a)=a+4/a，a∈[1,3]
这是对勾（耐克）函数，第一象限沟底为a=2
所以，h(2)最小，h(2)=4
即g(t)的最小值为4
所以，k≦4

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O