Question

一道高中数学题 关于函数和分类讨论的

已知函数f(x)=ax+lnx (a∈R).设g(x)=x^2-2x+2,若对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),求a的取值范围。

Answer 1

对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2)
这句话的意思是：g(x)在[0,1]上的最大值要大于f(x)在(0,+∞)上的最大值。
g(x)是确定的，老团易得g(x)在[0,1]上的最大值为g(0)=2；
所以，f(x)在(0,+∞)上的最大值要小于2,
即f(x)<2对x>0恒成立
ax+lnx<2
ax<2-lnx
a<(2-lnx)/x
令h(x)=(2-lnx)/x
则a<h(x)min
h'(x)=(-1-2+lnx)/x²=(lnx-3)/x²
当0<x<e³时，h'(x)<0，当x>e³时，h'(x)>0
则h(x)在(0,e³)上递减，吵凯在(e³,+∞)上递增；
所以，h(x)的最小值为h(e³)=(2-lne³)/e³=-1/e³
所以，a的取值范围是：a<-1/e³

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追问

g(x)在[0,1]上的最大值要大于f(x)在(0,+∞)上的最大值
请详细解释一下，谢谢

追答

对任意x1∈(0,+∞),均存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),
x1是任意的，所以，f(x1)可以取到f(x)的最大值
然后只要存在x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2),
那么只要g(x)的最大值大于f(x1)（也就是f(x)的最大值即可）
如果g(x)的最大值小于f(x)的最大值
当f(x1)=f(x)max时，就找不到x2∈[0,1],使得f(x1)<g(x2)了

Answer 2

答案示例：

 

 

 

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Answer 3

由题意可知，[f(x1)]max<[g(x2)]max，可以求得[g(x)max]=2，故对任意x>0，都毕雹昌有f(x)<2；进而可得a<(2-lnx)/(x)；利用求导的方法，求出(2-lnx)/(x)的最小手扒肆州值是-e^(-3)，所以a<-e^(-3)

Answer 4