Question

已知sin(a+135°)=5/13,cos(45°-β )=3/5,且-45°<a<45°,45°<β <135°,求cos2(a-β)的值

Answer 1

-45°<a<45°
所以90°<a+135°<180°
已知sin(a+135°)=5/13
那么cos(a+135°)=-√[1-(5/13)²]=-12/13

45°<β <135°
所以-90°<45°-β<0
因为cos(45°-β)=3/5
所以sin(45°-β)=-√[1-(3/5)²]=-4/5

所以sin[(a+135°)+(45°-β)]=sin(a+135°)cos(45°-β)+cos(a+135°)sin(45°-β)
=(5/13)*(3/5)+(-12/13)*(-4/5)
=63/65
所以sin[180°+(a-β)]=63/65
所以sin(a-β)=-63/65

所以cos2(a-β)=1-2sin²(a-β)=1-2*(-63/65)²=-3713/4225

Answer 2

解：
因为-45°＜A<45°
所以90°＜A+135°＜180°
因为sin（A+135°)=5/13
所以cos（A+135°)=-7/13
又因为45°＜B<135°
所以-90°＜45°-B＜0°
因为cos（45°-B)=4/5
所以sin（45°-B)=-3/5
因为A+135°+45°-B=180°+A-B
所以cos（A-B)=-cos（180°+A-B）=-cos（A+135°+45°-B）
=sin（A+135°)sin（45°-B)-cos（45°-B)cos（A+135°)
=（5/13）x（-3/5）-（-7/13）x（4/5）=1/5
所以cos2（A-B)=2cos²（A-B)-1=2x1/25-1=-23/25

Answer 3

解：本题关键在于角度配凑的问题，同时留意角度范围。
∵-45°<a<45° ∴90°<a+135°<180° ∴cos(a+135°)<0
又∵sin(a+135°)=5/13 ∴cos(a+135°)=-√[1-(5/13)²]=-12/13

∵45°<β <135° ∴-90°<45°-β<0 ∴sin(45°-β)<0
又∵cos(45°-β)=3/5 ∴sin(45°-β)=-√[1-(3/5)²]=-4/5

∴cos(a-β)=-cos[(a+135°)+(45°-β)]=-cos(a+135°)cos(45°-β)+sin(a+135°)sin(45°-β)
=-(-12/13)*(3/5)+(-5/13)*(4/5)=16/65
∴cos2(a-β)=2cos²(a-β)-1=2*(16/65)²-1=-3713/4225

Answer 4

因为-45°＜A<45°，所以90°＜A+135°＜180°，因为sin（A+135°)=5/13，所以cos（A+135°)=-7/13，又因为45°＜B<135°，所以-90°＜45°-B＜0°，因为cos（45°-B)=4/5，所以sin（45°-B)=-3/5，因为A+135°+45°-B=180°+A-B，所以cos（A-B)=-cos（180°+A-B）=-cos（A+135°+45°-B）=sin（A+135°)sin（45°-B)-cos（45°-B)cos（A+135°)=（5/13）*（-3/5）-（-7/13）*（4/5）=1/5

Answer 5

α+3π/4∈(π/2,π),π/4-β∈(-π/2,0)