Question

如图,在△ABC中,AB=AC,P为△ABC内一点,且∠BAP=70°,∠ABP=40°，当∠PCB=30°时，求∠PBC的度数~

求两种解法

Answer 1

因为，∠BPA = 180°-∠BAP-∠ABP = 70° = ∠BAP ，
所以，BA = BP ，可得：△ABP是等腰三角形；

构造一个等边△ABQ，使得点Q和点P在AB的同侧，连接CQ、PQ；
则有：AQ = BQ = AB = BP = AC ，∠ABQ = ∠BAQ = 60° ；
因为，∠ACB = ∠ABC = ½(180°-∠BAC) ，∠ACQ = ∠AQC = ½(180°-∠CAQ) ，
所以，∠BCQ = ∠ACQ-∠ACB = ½(∠BAC-∠CAQ) = ½∠BAQ = 30° ；

过点B作BD⊥CQ于D，作BE⊥CP于E，则点D、E分别在CQ和CP的延长线上；
因为，在△BCD和△BCE中，∠BDC = 90° = ∠BEC ，∠BCD = 30° = ∠BCE ，BC = BC ，
所以，△BCD ≌ △BCE ，
可得：BD = BE ，CD = CE ；
因为，在Rt△BDQ和Rt△BEP中，BD = BE ，BQ = BP，
所以，△BDQ ≌ △BEP ，
可得：DQ = EP ；
因为，在△BCP和△BCQ中，BC = BC ，BP = BQ ，CP = CE-EP = CD-DQ = CQ ，
所以，△BCP ≌ △BCQ ，
可得：∠PBC = ∠QBC = ½∠PBQ = ½(∠ABQ-∠ABP) = 10° 。

【另一种解法：http://zhidao.baidu.com/question/518389735.html】