Question

【求助】请教集合论（Set theory)的一个初等问题

问题是：集论（ZFC）的论域（Universe）是什么？
我已经系统学过一遍ZFC集论，但仍然没搞明白这门理论的论域是什么东西。
虽然每一本教材都是提到，集论研究的就是集，everything is a set，这很清楚地指示了集论的论域就是由集组成的。但这个Universe里面的集究竟是什么呢？
举个例子，实数理论研究的对象是实数，所以它的论域就是实数集R。在这门理论的任何一个语句都是在R中取值的，例如∀x(x^2>=0)或者∃x(x=1)这些语句中的个体变量都是在R中取值。

而集论中的语句在一个什么样的论域中取值呢？
例如这个句子：∀x∀y[∀z(z∈x ≡ z∈y) → x=y]
变量x，y在什么地方取值？ 这个取值的地方所包含的元素有哪些？

Answer 1

其实论域概念在模型论里才会用到，公理集合论只讨论那些公理在允许的推理规则下能推出些什么定理，公理和定理都是无意义的字符串，不存在变量要取值的问题。而在讨论ZFC的模型的时候要给一个集合M，变量都在这个集合中取值。有时候要讨论类模型，即M是一个真类比如全域V，可构成集L等等。所谓的论域是这个集合或真类M，当然M要满足每一条ZFC的公理。V即类{x|x=x}，即不对元素作任何限制。给了模型之后其中的任何元素都是集合。当然在事实上存在不是集合的类，但类只是一个形式化的记号，我们说{x|x=x}不是一个集合，只是在说不存在y使得对任意z（z属于y当且仅当z=z）而已，并不是在说给定的模型M中存在一个不是集合的元素。

追问

我的理解是当ZFC作为研究对象的时候，可以作为一个纯粹的形式系统，譬如在模型论研究ZFC系统的时候，里面的公式都看作符号的组合。但当应用ZFC作为元理论研究其他理论的时候，这时ZFC中的公式就不仅仅为符号组合了，而是有意义的公式了，此时的论域就是所有集的集。 当然，研究ZFC系统模型时所用的元理论依然可以是ZFC集论

追答

朴素上可以这样理解吧，研究ZFC的模型的时候是可以用ZFC做元理论，模型论既然讨论的模型都要是集合，肯定是以ZFC为元理论最自然。

至于论域取作V的话，其实就是没有限制论域，不必讨论所有集合的类到底是什么，你要讨论全体集合，实际上是假定了除了集合还有别的东西，所以才要把全体集合圈起来作一个限制，但事实上集合论里没有集合以外的东西...

追问

也并不是取V作论域，我说的论域是所有集的集是粗略的说法。具体来说，我理解中朴素的ZFC集论的论域是由空集作为基本元素，不断通过幂运算生成的一个空间。也就是先把这个论域想象出来了，然后再通过集论公理把论域的这些性质表现出来。而不是本来论域是空的，然后再通过集论公理把论域生成出来。

追答

为什么一定要想这件事情呢><?

如果你要讨论公理集合论那所有公式都是无意义的字符串，如果你要讨论ZFC的模型，就在作为元理论的ZFC中指定一个集合M作为模型，至于元理论的论域是什么，这不是理论内部能够回答的问题，要给了元元理论才能回答，然后就又回到开始的问题了。

至于你提的集论公理到底是在生成论域还是在刻划论域，我认为答案应该是后者，至少前者不对。集论公理一般都是告诉你存在着哪些集合（除了正则公理），若是生成论域，则需要加入公理说明每个集合都可以用这些公理生成出来，直观上来看这是可构成性公理V=L，而可构成性公理一般是不被接受的，它并上ZF蕴含AC和GCH。

Answer 2

集合论的论域是除去真类的类（class），everything is a set是不对的啊