Question

已知：如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，

已知：如图，BD为∠ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD的延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AE=EC=AD；④BA+BC=2BF，其中正确的是（　　）

Answer 1

1、∵BD为∠ABC的角平分线即∠ABD=∠EBC

∵BE=BA，BD=BC

∴①△ABD≌△EBC(SAS)

2、∵△ABD≌△EBC(SAS)

∴∠BDA=∠BCE

∵BD=BC

∴∠BCD=∠BDC=∠ADE(对顶角相等）

∵∠BDA+∠ADE=180°

∴②∠BCE+∠BCD=180°

3、∵△ABD≌△EBC(SAS)

∴AD=EC

∠BAD=∠BEC即∠BAD=∠DEC

∴A、B、C、E四点共圆，

∴∠AED=∠BCD=∠BDC=∠ADE

∴AD=AE

∴③AE=EC=AD

4、过E作BC延长线的垂线，垂足为M

∵A、B、C、E四点共圆，
∴∠BCE+∠BAE=180

∵∠BCE+∠BAE=180°，
∴∠BAE=∠ECM，

又∵BE为∠ABC平分线，EF⊥AB，EM⊥BM，
∴EF=EM，

∴Rt△AEF≌Rt△CEM（AAS），
∴AF=CM，又AB=EB，BC=BD，
则BE+BD=AB+BC=BF+AF+BC=BF+BC+CM=BF+BF=2BF
∴④BA+BC=2BF

 

 

选：：①②③④

Answer 2

证明1、∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠EBC
又∵AB=AE，BD=BC
∴△ABD≌△EBC
证明2、∵1中三角形全等
∴∠ADB=∠BCE
又∵BD=BC
∴∠BDC=∠BCD
∴∠BCE+∠BCD=180°
证明3、由1中可知：AD=EC
又∵AB=BE，BC=BD，BD是∠ABC的平分线
∴∠BAE=∠BDC
∵∠BDC=∠ADE，∠BEA=∠BAE
∴∠ADE=∠AED
∴AD=AE
即，AE=EC=AD。
证明4、延长BC ，过点E作EM⊥BC于M
则，EF=EM，BF=BM
∵3中，AE=EC
∴Rt△AFE≌Rt△CME
∴AF=CM
∵AB+BC=AF+FB+BC=BF+BM=2BF
∴BA+BC=2BF
由以上可知，该选全部。

Answer 3

正确的是（1.2.3.4）
1，证明：因为BD平分角ABC
所以角ABD=角CBE
因为AB=BE
BD=BC
所以三角形ABD和三角形EBC全等（SAS)
所以是正确的
2，因为三角形ABD和三角形EBC全等（已证）
所以角ADB=角BCE
因为BD=BC
所以角BCD=角BDC
因为角ABD+角BDC=180度
所以角BCE+角BCD=180度
所以是正确的
3，证明：因为三角形ABD和三角形EBC全等（已证）
所以AD=CE
角BAD=角BEC
所以A.B.C。E四点共圆
所以角BCD=角AED
因为角ADE=角BDC
角BDC=角BCD(已证）
所以角ADE=角AED
所以AD=AE
所以AE=EC=AD
所以是正确的
4，证明：延长BA使AG=BD
因为A.B.C.E.四点共圆
所以角GAE=角BCE
因为角ADB=角BCE（已证）
所以角GAE=角ADB
因为AD=AE
所以三角形ADB和三角形EAG全等（SAS)
所以AB=EG
因为AB=BE
所以BE=EG
所以三角形BEG是等腰三角形
因为EF垂直AB
所以EF是等腰三角形BEG的中垂线
所以BF=GF=1/2BG
因为BG=AB+AG=AB+BD
因为BD=BC
所以AB+BC=2BF
所以是正确的