Question

已知函数f（x）=x^2+3x|x-a|，其中a∈R．

（1）当a=1/3时，方程f（x）=b恰有三个根，求实数b的取值范围；
（2）当a=1/3时，是否存在区间[m,n]，使得函数的定义域与值域均为[m,n]，若存在，请求出所有可能的区间[m,n]，若不存在请说明理由；
（3）若a＞0，函数f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．

Answer 1

已知函数f（x）=x^2+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）当a=1/3时，方程f（x）=b恰有三个根，求实数b的取值范围；
（2）当a=1/3时，是否存在区间[m,n]，使得函数的定义域与值域均为[m,n]，若存在，请求出所有可能的区间[m,n]，若不存在请说明理由；
（3）若a＞0，函数f（x）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．

(1)解析：∵函数f（x）=x^2+3x|x-a|,当a=1/3时，方程f（x）=b恰有三个根
设g(x)=4x^2-x-b (x>=1/3)
令g’(x)=8x-1=0==>x=1/8==>g(x)在x=1/8处取极小值
∵1/8<1/3，∴g(x)在[1/3,+∞)上单调增；
g(x)=-2x^2+x-b (x<1/3)
令g’(x)=-4x+1=0==>x=1/4==>g(x)在x=1/4处取极大值
∵1/4<1/3，∴g(x)在(-∞,1/4)上单调增；g(x)在[1/4,1/3)上单调减；
要使方程f（x）=b恰有三个根，
只须g(1/4)=-2(1/4)^2+(1/4)-b=1/8-b>0==>b<1/8
g(1/3)=-2(1/3)^2+(1/3)-b=1/9-b<0==>b>1/9
即1/9<b<1/8

(2)解析：∵g(x)=-2x^2+x (x<1/3)
若存在区间[m,n]，使得函数的定义域与值域均为[m,n]
g(x)=-2x^2+x=x==>-2x^2=0
显然在(-∞,1/3)上不存在这样的区间
g(x)=4x^2-x (x>=1/3)
若存在区间[m,n]，使得函数的定义域与值域均为[m,n]
g(x)=4x^2-x=x==>4x^2-2x=0==>x1=0,x2=1/2
∵x1<1/3<1/2
当x∈[1/3,1/2]时，g(x)值域为[0,1/2]
当x∈[0,1/3]时，g(1/4)=1/8，g(1/3)=1/9，∴g(x)值域为[0,1/8]
∴当x∈[0,1/2]时，g(x)值域为[0,1/2]
∴存在区间[0,1/2]，使得函数的定义域与值域均为[0,1/2]

(3)解析：∵函数f(x)=x^2+3x|x-a|，（a>0）在区间（m，n）上既有最大值又有最小值
g(x)=-2x^2+3ax (x<a)
=-2(x-3a/4)^2+9a^2/8
令g(a)=-2a^2+3a^2=a^2
g(x)=4x^2-3ax (x>=a)
令g(a)=4a^2-3a^2=a^2
当a>0时，显然9a^2/8>a^2
令-2x^2+3ax=a^2
解得x1=a/2，x2=a
令4x^2-3ax=9/8a^2
则a<n<=3(1+√3)a/8

∴只要a/2<=m<3a/4，且a<n<=3(1+√3)a/8时，函数f(x)在区间（m，n）上既有最大值又有最小值