Question

求解高数定积分！！题目如图！求详细过程！！（答案=0，但是没有过程，我能算出=0但不知道过程对不对）

Answer 1

解：
根据原函数定义
设F(x)为原函数
所以F(x)=1+(sinx)^2
所以F'(x)=f(x)=2sinxcosx=sin2x
所以f'(2x)=(sin4x)'=4cos4x
原式=∫[0,π/2]x4cos4xdx
=∫[0,π/2]x(sin4x)'dx=xsin4x|[0,π/2]-1/4∫[0,π/2](sin4x)d4x
=xsin4x|[0,π/2]+1/4cos4x|[0,π/2]
=(0-0)+1/4(0-0)=0

Answer 2

由题意，∫f(x)=1+sin^2 x+C
求导，得：f(x)=2sinxcosx=sin2x
故f'(x)=2cos2x
f"(2x)=2cos4x
用分部积分法：
原式=∫x*2cos4x dx=x* 0.5sin4x-∫0.5sin4x dx
=[0.5xsin4x+0.125cos4x]
=[0+0.125]-[0+0.125]
=0

Answer 3

令F(x)=1+(sinx)^2
F'(x)=2sinxcosx=f(x)
f'(x)=2cos2x
Jxf'(2x)dx=J2xcos4xdx 部分积分
=(1/2)xsin4x-J(1/2)sin4xdx
=(1/2)xsin4x+(1/8)cos4x|(上pi/2下0)
=0+（1/8）-(0+1/8)
=0

Answer 4

对1+(sinx)^2求导，得f(x)=2sinxcosx=sin2x，f'(2x)=4cos4x
积分变为1/4*∫4xcos4xd4x,
令t=4x, 0≤t≤2π，原式=1/4*∫tcostdt
分步积分，∫tcostdt=tsint-∫sintdt,
再算个定积分就行

Answer 5

f(2x)=4sin2xcos2x=2sin4x
f'(2x)=8cos4x
所以原式=∫(0→π/2)8xcos4xdx=2∫(0→π/2)xd(sin4x)=2xsin4x|(0→π/2)-2∫(0→π/2)sin4xdx=1/2∫(0→π/2)cos4x|(0→π/2)=0