如图(1),在△ABC中,AE平分∠BAC(∠C>∠B),F为AE上一点,且FD⊥BC于D.
(1)试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系;(2)如图(2),当点F在AE的延长线上时,其余条件都不变,判断你在(1)中推导的结论是否还成立?...
(1)试推导∠EFD与∠B、∠C的大小关系;
(2)如图(2),当点F在AE的延长线上时,其余条件都不变,判断你在(1)中推导的结论是否还成立? 展开
(2)如图(2),当点F在AE的延长线上时,其余条件都不变,判断你在(1)中推导的结论是否还成立? 展开
3个回答
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1)∠EFD与∠B、∠C的大小关系:∠EFD=(∠C-∠B)/2
理由
在△ABE中,∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+∠BAC/2
在△ACE中,∠AEC=180-∠C-∠CAE=180-∠C-∠BAC/2
两式相加,得,
2∠AEC=∠B+∠BAC/2+180-∠C-∠BAC/2=180+∠B-∠C
即∠AEC=(∠B-∠C)/2+90°
所以90-∠AEC=(∠C-∠B)/2
因为FD⊥BC于D.
所以∠AEC+∠EFD=90
所以∠EFD=(∠C-∠B)/2
2)∠EFD=(∠C-∠B)/2仍然成立
理由
在△ABE中,∠AEC=∠B+∠BAE=∠B+∠BAC/2
在△ACE中,∠AEC=180-∠C-∠CAE=180-∠C-∠BAC/2
两式相加,得,
2∠AEC=∠B+∠BAC/2+180-∠C-∠BAC/2=180+∠B-∠C
即∠AEC=(∠B-∠C)/2+90°
所以90-∠AEC=(∠C-∠B)/2
因为FD⊥BC于D.
所以∠AEC+∠EFD=90
所以∠EFD=(∠C-∠B)/2
2)∠EFD=(∠C-∠B)/2仍然成立
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1
<AEC=<B+<BAE=<B+<A/2=<B+(180-<B-<C)/2=<B+90-<B/2-<C/2=90+<B/2-<C/2
∵FD⊥BC
∴<FEC+<EFD=90
<EFD=90-<FEC=90-(90+<B/2-<C/2)=(<C-<B)/2
2(1)中推导的结论成立
∵FD⊥BC
∴<FEB+<EFD=90
<FEB=<AEC=<B+<BAE=<B+<A/2=<B+(180-<B-<C)/2=<B+90-<B/2-<C/2=90+<B/2-<C/2
<EFD=90-<FEB=90-(90+<B/2-<C/2)=(<C-<B)/2
<AEC=<B+<BAE=<B+<A/2=<B+(180-<B-<C)/2=<B+90-<B/2-<C/2=90+<B/2-<C/2
∵FD⊥BC
∴<FEC+<EFD=90
<EFD=90-<FEC=90-(90+<B/2-<C/2)=(<C-<B)/2
2(1)中推导的结论成立
∵FD⊥BC
∴<FEB+<EFD=90
<FEB=<AEC=<B+<BAE=<B+<A/2=<B+(180-<B-<C)/2=<B+90-<B/2-<C/2=90+<B/2-<C/2
<EFD=90-<FEB=90-(90+<B/2-<C/2)=(<C-<B)/2
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图(1):∵FD⊥BC于D ∴∠FDE=90°
∴∠EFD+∠FED
=∠FED+(∠B+∠BAE)
=∠FED+[∠B+(1/2∠A)]
=∠FED+[∠B+1/2(180-∠B-∠C)]
=∠FED+(90-1/2∠B-1/2∠C)=90
∴∠FED=1/2∠B+1/2∠C
图(2): ∠EFD+∠FED
=∠FED+(∠B+∠BAE)
=∠FED+[∠B+(1/2∠A)]
=∠FED+[∠B+1/2(180-∠B-∠C)]
=∠FED+(90-1/2∠B-1/2∠C)=90
∴∠FED=1/2∠B+1/2∠C
∴∠EFD+∠FED
=∠FED+(∠B+∠BAE)
=∠FED+[∠B+(1/2∠A)]
=∠FED+[∠B+1/2(180-∠B-∠C)]
=∠FED+(90-1/2∠B-1/2∠C)=90
∴∠FED=1/2∠B+1/2∠C
图(2): ∠EFD+∠FED
=∠FED+(∠B+∠BAE)
=∠FED+[∠B+(1/2∠A)]
=∠FED+[∠B+1/2(180-∠B-∠C)]
=∠FED+(90-1/2∠B-1/2∠C)=90
∴∠FED=1/2∠B+1/2∠C
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