Question

）如图1，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD∥AC，且∠CBD=∠BAC，OD交⊙O于点E．

作CF⊥AB于点F，连接AD交CF于点G（如图2），求 FGFC的值．

Answer 1

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，
∴∠ABC+∠BAC=90°，
又∵∠CBD=∠BAC，
∴∠ABC+∠CBD=90°，
∴∠ABD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD为⊙O的切线；

（2）证明：连CE、OC，BE，如图，
∵OE=ED，∠OBD=90°，
∴BE=OE=ED，
∴OB=BE=OE，
∴△OBE为等边三角形，
∴∠BOE=60°，
又∵AC∥OD，
∴∠OAC=60°，
又∵OA=OC，
∴AC=OA=OE，
∴AC∥OE且AC=OE，
∴四边形OACE是平行四边形，
而OA=OE，
∴四边形OACE是菱形；

（3）解：∵CF⊥AB，
∴∠AFC=∠OBD=90°，
而AC∥OD，
∴∠CAF=∠DOB，
∴Rt△AFC∽Rt△OBD，
∴FCBD=
AFOB，即FC=BD•AFOB，
又∵FG∥BD，
∴△AFG∽△ABD，
∴FGBD=
AFAB，即FG=BD•AFAB，
∴FCFG=ABOB=2，
∴FGFC=12．