Question

（本小题满分12分）已知函数f（x）= （x∈R）．⑴当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；⑵设关于x的方

（本小题满分12分）已知函数f（x）= （x∈R）．⑴当f（1）=1时，求函数f（x）的单调区间；⑵设关于x的方程f（x）= 的两个实根为x 1 ,x 2 ，且-1≤a≤1,求｜x 1 -x 2 ｜的最大值；⑶在（2）的条件下，若对于［-1，1］上的任意实数t，不等式m 2 +tm+1≥｜x 1 -x 2 ｜恒成立，求实数m的取值范围．

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Answer 1

（1）f（x）的减区间是（-∞，-2］和［1，+∞），增区间是［-2，1］；（2）3；（3）m≥2或m≤-2

⑴由f（1）=1得a="-1" ，……………………………………………………2分 f′（x）= = = ≥0……………………4分 -2≤x≤1，所以f（x）的减区间是（-∞，-2］和［1，+∞），增区间是［-2，1］…5分 ⑵方程f（x）= 可化为x 2 -ax-2=0，Δ=a 2 +8 >0 ∴x 2 -ax-2=0有两不同的实根x 1 ，x 2 ， 则x 1 +x 2 =a,x 1 x 2 =-2…………………………7分 ∴｜x 1 -x 2 ｜= ∵-1≤a≤1 ，∴当a=±1时， ∴｜x 1 -x 2 ｜ max = =3…………………………8分 ⑶若不等式m 2 +tm+1≥｜x 1 -x 2 ｜恒成立， 由⑵可得m 2 +tm+1≥3，对t∈［-1，1］都成立m 2 +tm-2≥0 ，t∈［-1，1］， 设g（t）=m 2 +tm-2…………………………………………9分 若使t ∈［-1，1］时g（t）≥0都成立， 则 …………11分 解得：m≥2或m≤-2 ，所以m的取值范围是m≥2或m≤-2……………………12分