Question

已知g（x）=-x2-3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2

已知g（x）=-x2-3，f（x）=ax2+bx+c（a≠0），函数h（x）=g（x）+f（x）是奇函数．（1）求a，c的值；（2）当x∈[-1，2]时，f（x）的最小值是1，求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）（法一）：f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
又f（x）+g（x）为奇函数，
∴h（x）=-h（-x），
∴（a-1）x²-bx+c-3=-（a-1）x²-bx-c+3对x∈R恒成立，
∴

a?1＝?a+1 c?3＝?c+3

，
解得

a＝1 c＝3

；
（法二）：h（x）=f（x）+g（x）=（a-1）x²+bx+c-3，
∵h（x）为奇函数，
∴a-1=0，c-3=0，
∴a=1，c=3．
（2）f（x）=x²+bx+3，其图象对称轴为x＝?

b

2

，
当?

b

2

≤?1，即b≥2时，
f（x）_min=f（-1）=4-b=1，∴b=3；
当?1＜?

b

2

≤2，即-4≤b＜2时，
f(x)min＝f(?

b

2

)＝

b2

4

?

b2

2

+3＝1，
解得b＝?2

2

或b＝2

2

（舍）；
当?

b

2

＞2，即b＜-4时，
f（x）_min=f（2）=7+2b=1，∴b=-3（舍），
∴f（x）=x²+3x+3或∴f(x)＝x2?2

2

x+3．