Question

已知z1，z2是复数，求证：若|z1-.z2|=|1-z1z2|，则|z1|，|

已知z1，z2是复数，求证：若|z1-.z2|=|1-z1z2|，则|z1|，|z2|中至少有一个值为1．

Answer 1

证：∵|z₁-

.

z2

|=|1-z₁z₂|
∴|z₁-

.

z2

|²=|1-z₁z₂|²．
∴（z₁-

.

z2

）

.

(z1? . z2 )

=（1-z₁z₂）

.

(1?z1z2)

．
∴（z₁-

.

z2

）（

.

z1

-z₂）=（1-z₁z₂）（1-

.

z1

.

z2

）．
化简后得z₁

.

z1

+z₂

.

z2

=1+z₁z₂

.

z1

.

z2

．
∴|z₁|²+|z₂|²=1+|z₁|²?|z₂|²．
∴（|z₁|²-1）（|z₂|²-1）=0．∴|z₁|²=1，或|z₂|²=1．
∴|z₁|，|z₂|中至少有一个为1．

Answer 2

由z1=2+i且z1?z2=3+4i，
若|z1|＞|z2|，根据给出的定义运算，则z2＝
3+4i
2+i
＝
(3+4i)(2?i)
(2+i)(2?i)
＝
10+5i
5
＝2+i
此时|z1|＝|z2|＝
22+12
＝
5
，与|z1|＞|z2|矛盾．
若|z1|≤|z2|，根据给出的定义运算，则z2=（3+4i）-（2+i）=1+3i．
此时|z1|＝
5
，|z2|＝
12+32
＝
10
，符合|z1|≤|z2|．
所以，复数z2=1+3i．
故选b．