Question

在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P．求证：（1）DQ=CP；（2）OP

在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，Q是CD上任意一点，DP⊥AQ，交BC于点P．求证：（1）DQ=CP；（2）OP⊥OQ．

Answer 1

（1）在△DCP和△ADQ中，AD=CD，∠DCP=∠ADQ， ∠DQM+∠PDC=90°，∠DQM+∠DAQ=90°， ∴∠PDC=∠QAD， ∴△DCP≌△ADQ， ∴DQ=CP． （2）在△OQD和△OPC中， CP=QD，∠OCP=∠ODQ，DO=CO， ∴△OPC≌△OQD， ∴∠POC=∠QOD， ∵∠QOD+∠QOC=90° ∴∠POC+∠QOC=∠POQ=90°，即OQ⊥OP．