Question

如图，已知，在平行四边形ABCD中，∠A=60°,E、F分别是AB、CD的中点，且AB=2AD,求证BE︰BD=√3︰3

Answer 1

连接DE，则AE=AD，BE=AD
因为：∠A=60°
所以：△AED是等边三角形，
所以：AD=DE=BE
即：△ABD是直角三角形，且∠ABD=30°，∠ADB=90°
设：AD=1，则：BD=√3,BE=1
所以：BE/BD=1/√3=(√3)/3
即：√3:3

Answer 2

∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=1/2AB，DF=1/2CD，
∴AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AB=2AD，∴AE=AD，∴平行四边形AEFD是菱形，
过D作DG⊥AB于G，设AD=a，则AB=2a，
∵E是AB有中点，∴AE=BE=a，
在RTΔDAG中，∠A=60°，∴∠ADG=30°，∴AG=1/2AD=1/2a，
∴BG=AB-AG=2a-1/2a=3/2a，DG=√3*AG=√3/2*a，
∴BD=√(DG²+BG²)=√［3/4a²+9/4a²］=√3*a，
∴BE：BD=a：√3*a=1：√3=√3：3。

追问

不要扯到菱形上面去，有没有简单一点的方法

追答

上面不要。只要：
过D作DG⊥AB于G，设AD=a，则AB=2a，
∵E是AB有中点，∴AE=BE=a，
在RTΔDAG中，∠A=60°，∴∠ADG=30°，∴AG=1/2AD=1/2a，
∴BG=AB-AG=2a-1/2a=3/2a，DG=√3*AG=√3/2*a，
∴BD=√(DG²+BG²)=√［3/4a²+9/4a²］=√3*a，
∴BE：BD=a：√3*a=1：√3=√3：3。

追问

我是要证明BF和BD的比

追答

哦。
∵ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=1/2AB，DF=1/2CD，
∴AE=DF，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AD=EF，
∵AB=2AD，∴BE=AD，∴EF=BE，
∵∠FEB=∠A=60°，∴ΔFEB是等边三角形，
∴BF=EF=BE=AE，
过D作DG⊥AB于G，设AD=a，则AB=2a，
∵E是AB有中点，∴BE=BF=a，
在RTΔDAG中，∠A=60°，∴∠ADG=30°，∴AG=1/2AD=1/2a，
∴BG=AB-AG=2a-1/2a=3/2a，DG=√3*AG=√3/2*a，
∴BD=√(DG²+BG²)=√［3/4a²+9/4a²］=√3*a，
∴BF：BD=1：√3=√3：3。