Question

方程x^2-mnx+m+n=有整数根，且m，n为自然数，则m，n的值有几对，试求出来

Answer 1

设两根为x1,x2,
则x1+x2=mn
x1x2=m+n
设x1为整数，则x2=mn-x1也为整数。
由两根和及两根积都为非负整数，知x1,x2都为非负整数。
不妨设x1<=x2
因为m,n对称，不妨设n<=m
若n=0,则x1+x2=0,x1x2=m,得：x2=-x1,m=x1x2=-x1^2,故只有m=x1=0, 即m=n=0
若n=1,则x1+x2=m, x1x2=m+1, 两式相减得：x1x2-x1-x2=1,得; (x1-1)(x2-1)=2, 故有x1-1=1, x2-1=2
得: x1=2, x2=3, m=5
若n>=2, x1+x2=mn>=m+n=x1x2, 得：(x1-1)(x2-1)<=1, 所以只有x1=2,x1=1, 或x1=0
x1=2时，有x2=mn-2=(m+n)/2,得：2mn=m+n+4<=mn+4, 得：mn<=4,所以只有m=n=2,x2=2
x1=1时，有x2=mn-1=m+n,得：(m-1)(n-1)=2,得：n-1=1, m-1=2,即n=2, m=3, x2=5
x1=0时，有mn=x2, m+n=0,得：m=n=x2=0
综合得以下4组解：(n<=m)
n=m=0, x1=x2=0
n=1, m=5, x1=2, x2=3
n=m=2, x1=x2=2
n=2, m=3, x1=1, x2=5
如果（n,m)算上对称的解，则共有6对：
(0,0),(1,5),(5,1), (2,2), (2,3),(3,2)

Answer 2

设两个根为a,b
a+b=mn,ab=m+n
依题意，则ab同号，且也是自然数
如果，m,n>=2,则m+n<=mn
ab<=a+b，a<=2,b<=2
对应，a=2,b=2
a=1,b=1
a=1,b=2
a=2,b=1
筛选后，a=2,b=2唯一解，m=2=n
若m=1,n=1
显然方程无整数解

Answer 3