Question

数学题，急

椭圆x^2/16+y^2/9=1的左、右焦点 分别为F1,F2，一条直线经过F1与椭 圆交与A,B两点。 (1)求ABF2的周长 （2）若直线的倾斜角为45°，求△ ABF2的面积

Answer 1

椭圆x²/16+y²/9=1的左、右焦点分别为F₁,F₂，一条直线经过F₁与椭圆交与A,B两点。
(1)求ABF₂的周长（2）若直线的倾斜角为45°，求△ABF₂的面积
解：椭圆参数：a=4，b=3，c=√7；F₁(-√7，0)；F₂(√7，0)；
(1)△ABF₂的周长=AF₁+AF₂+BF₁+BF₂=2a+2a=4a=16
(2)若AB的倾角是45°，那么△ABF₂的面积S=(1/2)∣F₁F₂∣∣AB∣sin45°..........(1)
其中∣F₁F₂∣＝2√7；
设AB所在直线的方程为y=x+√7，代入椭圆方程得：x²/16+(x+√7)²/9=1
即有9x²+16(x+√7)²-144=0
25x²+32(√7)x-32=0
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)；则x₁+x₂=-32(√7)/25；x₁x₂=-32/25；
故∣AB∣=√{2[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]=√[2(7168/625+128/25)]=√(20736/625)=144/25
代入(1)式得△ABF₂的面积S=(1/2)×2√7×(144/25)×(√2/2)=(72/25)√14.

Answer 2

(1)周长为4a=16
(2)经过F1倾斜角45°直线L为:y=x+√7 带入椭圆x^2/16+y^2/9=1 得
椭圆x^2/16+（x+√7)^2/9=1
25x^2+32√7x-32=0
x1+x2=-32√7/25 x1*x2=-32/25
!AB!=√[1+k^2]*!x1-x2!=!=√[1+1^2]*√[（x1-x2）^2-2x1*x2]=96√2/25
h=2c/√2=2√7/√2

S△ABF2=1/2h!AB!=96√7/25

Answer 3

(1)周长为4a=16
(2)经过F1倾斜角45°直线L为:y=x+√7 x=y-√7代入椭圆x^2/16+y^2/9=1 得
（y-√7）^2/16+y^2/9=1,
9（y-√7）^2+16y^2-144=0
25y^2-18√7y-81=0
假定它的两个根为y1 、y2，y2>y1
S△ABF2=√7(y2-y1)
y1+y2=18√7/25
y1y2=-81/25
(y2-y1)^2=(y2+y1)^2-4y1y2=(18^2*7+81*4*25)/25^2
(y2-y1)^2=18^2*32/25^2
y2-y1=72/25*√2
S△ABF2=√7(y2-y1)=72√14/25

Answer 4

解：根据椭圆的定义AF1+AF2=2a，BF1+BF2=2a
∵AF1+BF1=AB，∴△ABF2的周长为4a=16；