Question

已知实数x，y满足方程已知实数x,y满足方程x∧2+y∧2-4x+3=0，求y-2/x-1的取值范围

Answer 1

x^2+y^2-4x+3=0
就是圆(x-2)^2+y^2=1
(y-2)/(x-1)几何意义是圆上点到点(1,2)斜率大小
画出图来
可以发现圆上点到(1,2)斜率，相切的时候达到最值
设过点(1,2)切线是y-2=k(x-1)
圆心到直线距离为半径：|-2-k|/√1+k^2=1
k=-3/4
发现还有一条切线是垂直于x轴的

所以取值范围是(-无穷,-3/4]

Answer 2

令k=(y-2)/(x-1)
则k是直线斜率，直线过A(x,y)和B(1,2)

kx-y+2-k=0
A在圆上，则AB和圆(x-2)²+y²=1有公共点
即圆心(2,0)到直线距离d≤r
所以|2k-0+2-k|/√(k²+1)≤1
平方
k²+4k+4≤k²+1
所以(y-2)/(x-1)≤-3/4

Answer 3

可以令k=y-2/x-1,这题可以用图像法解决。即y=k*x-k+2.k可以看成这条直线的斜率。直线恒经过（1,2）点，并且另外一点在圆上，这样你就可以画出经过（1,2）点且与圆相切的两条直线，求出这两条直线的斜率k，就是答案的取值范围了。不过要注意x不能为1，所以取值范围的一端不能取等号。希望能帮上忙。另外这一类的题目，一般都是用图像法解决。另外也常用换元法。例如令x-2=sina,y=cosa，不过这一题不适合而已。