Question

如图,在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆O交BC于点D，过点D作DF垂直于BC，交AB的延长线于E，垂足为F。

求证：（1）直线DE是圆O的切线；
（2）当AB=5，AC=8时，求cosE的值。

Answer 1

（1）证明：如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC；
∵AB=BC，
∴AD=DC；
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解：作DH⊥AB，垂足为H，则∠EDH+∠E=90°，
又DE⊥OD，
∴∠ODH+∠EDH=90°．
∴∠E=∠ODH．
∵AD=DC，AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD=根下AB2-AD2 =3
由三角形面积公式得：AB•DH=DA•DB．
即5•DH=3×4，DH=12/5
在Rt△ODH中，cos∠ODH=DH/OD=24/25

∴cos∠E=24/25

Answer 2

（1）证明：因为AB是圆O的直径
所以解ADB=角CDB=90度
所以BD是三角形ABC的垂线
因为AB=BC
所以三角形ABC是等腰三角形
所以BD是等腰三角形ABC的中线，角平分线
所以AD=DC=1/2AC
角ABD=角CBD
因为OB=OD
所以角ABD=角ODB
所以角ODB=角CBD
所以OD平行BC
所以角ODE=角BFE
所以角ODE=90度
因为OD是圆的半径
所以DE是圆O的切线
（2）过点D作DG垂直AB于G
所以角OGD=90度
所以角DOE+角ODG=90度
因为角ODE=90度
所以角DOG+角E=90度
所以角ODG=角E
因为AB是圆O的直径
所以角ADB=90度
所以由勾股定理得：
AB^2=AD^2+BD^2
因为
因为DF垂直BC于F
所以角BFE=90度
因为AD=1/2AC（已证）
AC=8
AB=2OD=5
所以BD=3
OD=5/2
因为三角形ADB=1/2*AB*DG=1/2*AD*BD
所以DG=12/5
在直角三角形OGD中
cos角ODG=DG/OD=(12/5)/(5/2)=24/25
所以cos角E=24/25

Answer 3

（1）证明：如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=∠90°，
∴BD⊥AC；
∵AB=BC，
∴AD=DC；
∵OA=OB，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD．
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解：作DH⊥AB，垂足为H，则∠EDH+∠E=90°，
又DE⊥OD，
∴∠ODH+∠EDH=90°．
∴∠E=∠ODH．
∵AD=DC，AC=8，
∴AD=4．
在Rt△ADB中，BD=根下AB2-AD2 =3
由三角形面积公式得：AB•DH=DA•DB．
即5•DH=3×4，DH=12/5
在Rt△ODH中，cos∠ODH=DH/OD=24/25

∴cos∠E=24/25