Question

已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°点M是CE的中点，连接BM.

1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为?写过程.
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由

Answer 1

解：（1）BD=根号2倍BM   

证明：∵△ADE是等腰直角三角形   

∴∠ADE=90   

∴∠EDB=90

∴∠DEM+∠EFD=90(在AB与EC交点标个F）

∵△ABC是等腰直角三角形

∴∠ABC=90

∴∠BFC+∠BCF=90

∵∠EFD=∠BFC

∴∠DEM=∠NCM

∵M是CE中点

∴EM=MC

∵∠EMD=∠NMC（对顶角相等）

∴△EDM=△MNC

∴DM=MN

∴M是DN中点

∵△ABC是等腰直角三角形

∴∠ABC=90  BM是中线

∴BM⊥DN  ∠DBM=∠NBM=45

∴∠BMD=90   ∠BDM=45

BD=根号2倍BM

（2）结论成立．

证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，

可证得△MDE≌△MFC，

∴DM=FM，DE=FC，

∴AD=ED=FC，

作AN⊥EC于点N，

由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，

可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，

∵CF∥ED，

∴∠DEN=∠FCM，

∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，

∴△BCF≌△BAD，

∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，

∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，

∴△DBF是等腰直角三角形，

∵点M是DF的中点，

则△BMD是等腰直角三角行

∴BD=根号2倍BM   求采纳