Question

已知数列{an}，{bn}满足：a1＝9/2，2a（n＋1）－an＝6×2^n，bn＝an－2^（n＋1）

（1）求｛an｝，｛bn｝的通项公式；
（2）记｛an｝，｛bn｝的前n项和分别为Sn，Tn，且对任意n，都有Sn/Tn≤m/bn成立，求实数m的最小值。

Answer 1

解：
2a(n+1) -an=6×2^n
2a(n+1)=an+6×2^n
2a(n+1)-2×2^(n+2)=an-2^(n+1)
[a(n+1)-2^(n+2)]/[an-2^(n+1)]=1/2，为定值。
a1-2^2=9/2 -4=1/2
数列{an -2^(n+1)}是以1/2为首项，1/2为公比的等比数列。
an -2^(n+1)=1/2ⁿ
an=2^(n+1) +1/2ⁿ
n=1时，a1=2^2 +1/2=9/2，同样满足。
数列{an}的通项公式为an=2^(n+1) +1/2ⁿ。
bn=an-2^(n+1)=2^(n+1)+1/2ⁿ-2^(n+1)=1/2ⁿ
Sn=a1+a2+...+an=2^2+2^3+...+2^(n+1)+1/2^1+1/2^2+...+1/2ⁿ
=4(2ⁿ -1)/(2-1) +(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)
=2^(n+2) -1/2ⁿ -3
Tn=b1+b2+...+bn=1/2+1/2^2+...+1/2ⁿ=(1/2)(1-1/2ⁿ)/(1-1/2)=1- 1/2ⁿ
Sn/Tn≤m/bn
[2^(n+2) -1/2ⁿ -3]/(1-1/2ⁿ)≤m/(1/2ⁿ)
2^(n+2) -1/2ⁿ -3≤m(2ⁿ -1)
m≥[2^(n+2) -1/2ⁿ -3]/(2ⁿ -1)
m≥[2^(2n+2) -3×2ⁿ -1]/[2^(2n) -2ⁿ]
m≥[4×2^(2n)-4×2ⁿ+2ⁿ -1]/[2^(2n) -2ⁿ]
m≥4+(2ⁿ -1)/[2ⁿ(2ⁿ -1)]
m≥4 +1/2ⁿ
随n增大，2ⁿ递增，1/2ⁿ递减，4+1/2ⁿ递减，因此当n=1时，4+1/2ⁿ有最大值4+1/2=9/2
要对任意正整数n，不等式恒成立，则m≥9/2
m的最小值为9/2。

Answer 2

(1)
2a(n+1)-an=6*2^n=3*2^(n+1)
2a(n+1)-4*2^(n+1)=an+3*2^(n+1)-4^(n+1)
2[a(n+1)-2^(n+2)]=an-2^(n+1)

即2b(n+1)=bn ,所以{bn}为等比数列。
b1=a1-4=1/2
所以bn=1/2^n
所以an-2^(n+1)=1/2^n
所以an=1/2^n+2^(n+1)
(2)
Sn=2^(n+2)-1/2^n-3
Tn=1-1/2^n
Sn/Tn≤m/bn

所以m≥[Sn/Tn]*bn={[2^(n+2)-1/2^n-3]/(1-1/2^n)}*1/2^n=3+(1-1/2^2n)/(1-1/2^n)=3+(1-1/2^n)(1+1/2^n)/(1-1/2^n)=4+1/2^n≤4+1/2=9/2
所以m≥9/2
所以m(min)=9/2

Answer 3

你拍成照片传上来，因为你的大小写不分，很难帮你算？