Question

证明:函数y=1分之x+1在(-1,+正无穷)上是减函数

Answer 1

y=1/(x+1)吗？
证明：（用定义）
令f(x)=1/(x+1)
任取-1<x1<x2,Δx=x2-x1>0
Δy=f(x2)-f(x1)
=1/(x2+1)-1/(x1+1)
=(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
=-Δx/[(x1+1)(x2+1)]
∵-1<x1<x2,Δx=x2-x1>0,x1+1>0,x2+1>0
∴(x1+1)(x2+1)>0 ,-Δx<0
∴-Δx/[(x1+1)(x2+1)]<0
即Δy<0
∴y=1/(x+1)在(-1,+正无穷)上是减函数

追问

ΔxΔy是什么意思啊

追答

仅是一个记号而已，人教B版是这样定义的
你若没见过，可以忽略

f(x2)-f(x1)
=1/(x2+1)-1/(x1+1)
=(x1-x2)/[(x1+1)(x2+1)]
∵-10,x1+1>0,x2+1>0
∴(x1+1)(x2+1)>0 x1-x2f(x2)
∴y=1/(x+1)在(-1,+正无穷)上是减函数

自变量值的改变量：Δx=x2-x1>0
函数值的改变量：Δy=f(x2)-f(x1)
Δx>0,Δy0,Δy>0函数是增函数

Answer 2

令f(x)=1/(x+1) 证明其在(-1,+正无穷)上是减函数

设m>n>-1, (实际书写可设x1>x2>-1)
f(m)-f(n)
=1/(m+1) - 1/(n+1)
=(n+1-m-1)/(m+1)(n+1)
=(n-m)/(m+1)(n+1)

因为m>n>-1
所以 (m+1)>0, (n+1)>0, n-m<0

所以(n-m)/(m+1)(n+1) < 0 即f(m)<f(n),得证。

Answer 3

①图像法②导数法。图像法简单些，①作出y＝x＋1的图像。它与y=1/（x＋1）的图像关于y轴对称②又y=1/（x 1）在（负无穷，－1）∪（－1，正无穷）减函数所以证明到了