Question

不构成空间基底的三个向量是否一定共面

Answer 1

首先，是3个不共面的向量才可以作为3维空间的一组基底表示3维空间内所有向量
由于3个向量不共面，所以没有2个向量共线。
1.任取其中两个（假设为A，B），则向量A与向量B构成一平面，在此平面内的所有向量均可表示为xA yB的形式，其中x,y为待定系数（此性质可由向量的三角法则简单的构造证明）。
2.假设基底中另一向量为向量C，任取3维空间中一向量M，将这两个向量分别向AB平面作投影，得到AB平面内的向量c,m与垂直于平面AB的向量c',m'。由1中知，c=x1A y1B,m=x2A y2B.其中x1,x2,y1,y2为系数。由于c'与m‘分别垂直与平面AB,故此两向量平行，即m'=zc',其中z为系数。
3.由2，向量M=m m'=x2A y2B zc'=x2A y2B z(C-c)=(x2-x1)A (y2-y1)B zC=xA yB zC,其中x=x2-x1,y=y2-y1,z均为参数。
由此证明3维空间内任意向量均可由此三不共面向量表示，还可证明此表示唯一（即系数x,y,z唯一），

Answer 2

对于三维空间：
构成空间基底的三个向量需满足两个条件：归一和正交化。
因此，不构成空间基底的三个向量未必一定共面。